Question

設函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）求f（x）的值域和最小正周期；
（II）設A、B、C為△ABC的三內角，它們的對邊長分別為a、b、c，若cosC=

2 2

3

，A為銳角，且f(

A

2

)=-

1

4

，a+c=2+3

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）先對函數化簡，f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=-

3

2

sin2x+

1

2

，再有三角函數的周期公式及性質求出函數的最值以及周期．
（II）由題條件求出sinC，sinA，再有正弦定理建立起兩邊a，c的一個方程與方程a+c=2+3

3

聯立求出a，c的值，再由余弦定理求出b，由面積公式求面積即可．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=-

3

2

sin2x+

1

2

，故函數的值域是[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]，周期是π；
（II）∵cosC=

2 2

3

，∴sinC=

1

3

∵f(

A

2

)=-

1

4

，∴-

3

2

sinA+

1

2

=-

1

4

，解得sinA=

3

2

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

3 2

=

c

1 3

，整理得a=

3 3

2

c代入a+c=2+3

3

解得c=2，a=3

3

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

2 2

3

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

∴S=

1

2

×a×c×sinB=

1

2

×2×3

3

×

2 6 +1

6

=3

2

+

3

2

點評：本題考查解三角形的實際應用以及三角恒等變換，求三角函數的周期及值域，求解本題的關鍵是對三角函數解析式的化簡以及正弦定理構建方程求兩邊的長度，用正弦的和角公式求角B的正弦值．本題中涉及到的公式較多，體現了三角函數解題的特點，綜合利用公式，靈活選擇公式的能力在本章的綜合題中顯得尤其重要．