Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．

（1）解不等式f（x）＜g（x）；

（2）若2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）{x|x＜﹣5或x＞1}（2）

【解析】試題分析：（1）原不等式等價于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，解二次不等式即可；（2）令H（x）=2f（x）+g（x），即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上方，直線G（x）=ax的斜率a滿足﹣4≤a＜,即可.

解析：

（1）f（x）＜g（x）等價于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，

∴x＜﹣5或x＞1，∴不等式的解集為{x|x＜﹣5或x＞1}；

（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax，

2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上方．

故直線G（x）=ax的斜率a滿足﹣4≤a＜，即a的范圍為[﹣4， ）．