Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用離心率求得a和c的關系式，同時利用點到直線的距離求得a，b和c的關系最后聯立才求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）設出A，B和直線AB的方程與橢圓方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用OA⊥OB推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，
求得m和k的關系式，進而利用點到直線的距離求得O到直線AB的距離為定值，進而利用基本不等式求得OA=OB時AB長度最小，最后根據d•AB=OA•OB≤

AB2

2

求得AB的坐標值．

解答：解：（I）由e=

1

2

得

c

a

=

1

2

即a=2c，∴b=

3

c．
由右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離為d=

21

7

，
得：

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，
解得a=2，b=

3

．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯立消去y得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，∴(k2+1)

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m=0，
整理得7m²=12（k²+1）
所以O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

．為定值
∵OA⊥OB，∴OA²+OB²=AB²≥2OA•OB，
當且僅當OA=OB時取“=”號．
由d•AB=OA•OB得d•AB=OA•OB≤

AB2

2

，
∴AB≥2d=

4 21

7

，
即弦AB的長度的最小值是

4 21

7

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力和基本的運算能力．