Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，經過F的直線與拋物線相交于A、B兩點，則以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：先表示出以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長，再利用拋物線的定義可求．

解答：解：由題意，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B到準線的距離和為y₁+y₂+2，|AB|=y₁+y₂+2
∴以AB為直徑的圓的圓心到x軸距離為

y1+y2

2

設直線AB的方程為：y=kx+1，代入拋物線x²=4y可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k
∴y1+y2=4k2+2
∴以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長為2

( y1+y2+2 2 )2-( y1+y2 2 )2

=

12+16k2

∴k=0時，以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是2

3

故答案為：2

3

點評：本題考查圓與拋物線的綜合，解題的關鍵是正確以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長，屬于中檔題