Question

（2011•閘北區三模）在數列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）設b_n=a_n-2n，證明數列{b_n}是等比數列；
（2）記數列{a_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與n²+2011的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意a_n+1=3a_n-4n+2，構造新的數列，在有b_n=a_n-2n，利用等比數列的定義既可以判斷；
（2）因為數列{a_n}的前n項和為S_n且有（1）知道a_n=2n+3ⁿ 利用分組求和法求和S_n，在利用作差法加以判斷即可．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，數列{a_n-2n}是首項為3，公比為3的等比數列，

（2）a_n-2n=3ⁿ⇒a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-n2-2011=

3

2

(3n-1)+n(n+1)-n2-2011=

3

2

(3n+

2

3

n-

4025

3

)
設函數f(x)=3x+

2

3

x，
由于y=3^x和y=

2

3

x都是R上的增函數，所以f(x)=3x+

2

3

x是R上的增函數．
又由于f(6)=733＜

4025

3

，f(7)=

6575

3

＞

4025

3

，
所以，當n∈{1，2，3，4，5，6}時，f(n)≤f(6)＜

4025

3

，此時，S_n＜n²+2011；
所以，當n∈N^*且n≥7時，f(n)≥f(7)＞

4025

3

，此時，S_n＞n²+2011．

點評：此題考查了已知數列的前n項的和，求出通項，還考查了分組求和法求和，比較法做差及分類討論法．