Question

（本小題滿分12分）雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為的一條漸近線.
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點(0,4)的直線，交雙曲線于A,B兩點，交x軸于點（點與的頂點不重合）。當 =，且時，求點的坐標

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）設雙曲線方程為
由橢圓 求得兩焦點為，對于雙曲線，
又為雙曲線的一條漸近線, ,
又因為，可以解得 ，
雙曲線的方程為.                                        ……4分
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程：，，則，
,
,
.                                 ……8分
在雙曲線上，

同理有：
若則直線過頂點，不合題意
是二次方程的兩根，

，
此時 
所求的坐標為.                                             ……12分
點評：橢圓與雙曲線混合運算時，要注意橢圓中而雙曲線中，不要弄混了；而考查直線與圓錐曲線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在.