Question

（08年崇文區統一練習一）（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點.

   （I）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值；

   （II）求證：AC₁∥平面B₁DC；

   （III）已知E是A₁B₁的中點，點P為一動點，記PB₁=x. 點P從E出發，沿著三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路線運動到點A，求這一過程中三棱錐P―BCC₁的體積表達式V（x）.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（I）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，

       ∴B₁B⊥AB. 又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC­₁B_­1.…………2分

       連結BC₁，則∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角.……3分

       依題設知，BC₁=2，在Rt△ABC₁中，

       …………5分

  

 

（II）如圖，連結DF，在△ABC₁中，∵D、F分別為AB、BC₁，

       的中點，

       ∴DF∥AC₁，又∵DF平面B₁DC，AC₁­平面B₁DC，

       ∴AC₁∥平面B₁DC.………………………………10分

   （III）PB₁=x，

       當點P從E點出發到A₁點，即時，由（1）同理可證PB₁⊥面BB₁C₁C，

      

       當點P從A₁點運動到A點，即時，.

       ∴三棱錐P―BCC₁的體積表達式………………14分