Question

已知函數f（x）=e^kx（k是不為零的實數，e為自然對數的底數）．
（1）若曲線y=f（x）與y=x²有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區間(k，

1

k

)內單調遞減，求此時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設切點坐標，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導數值相等列出方程②，聯立方程求解；
（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數的導數，根據區間關系求出k的范圍，再對k分類：k＜-1時和0＜k＜1時，再由條件和導數與函數單調性關系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．

解答：解：（1）設曲線y=f（x）與y=x²有共同切線的公共點為P（x₀，y₀），
則ekx0=

x

2 0

          ①，
又∵y=f（x）與y=x²在點P（x₀，y₀）處有共同切線，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴kekx0=2x0     ②，
由①②解得，k=±

2

e

．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函數h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
=k[x2+(

2

k

-2k)x-4]ekx=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx．              
又由區間(k，

1

k

)知，

1

k

＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①當0＜k＜1時，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得-

2

k

＜x＜2k，
即函數h（x）的單調減區間為(-

2

k

，2k)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區間(k，

1

k

)內單調遞減，
則有

0＜k＜1 k≥- 2 k 1 k ≤2k

，解得

2

2

≤k＜1．                                 
②當k＜-1時，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得x＜2k或x＞-

2

k

，
即函數h（x）的單調減區間為（-∞，2k）和(-

2

k

，+∞)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區間(k，

1

k

)內單調遞減，
則有

k＜-1 1 k ≤2k

，或

k＜-1 k≥- 2 k

，
這兩個不等式組均無解．
綜上，當

2

2

≤k＜1時，
函數h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區間(k，

1

k

)內單調遞減．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，查了分類討論思想和轉化思想．