Question

【題目】如圖，一幅壁畫的最高點處離地面米，最低點處離地面米.正對壁畫的是一條坡度為的甬道（坡度指斜坡與水平面所成角的正切值），若從離斜坡地面米的處觀賞它.

（1）若對墻的投影（即過作的垂線垂足為投影）恰在線段（包括端點）上，求點離墻的水平距離的范圍；

（2）在（1）的條件下，當點離墻的水平距離為多少時，視角（）最大？

Answer 1

【答案】（1）點離墻的水平距離的范圍為：；（2）當點離墻的水平距離為1m時，視角（）最大.

【解析】

（1）如圖所示：設，利用平行線成比例定理，結合銳角三角函數正切的定義進行求解即可；

（2）利用兩角和的正切公式、結合正切的定義，求出的表達式，利用換元法、基本不等式進行求解即可.

（1）如圖所示：設，顯然有，因此有

，由,可得：，化簡得：，因為，所以，即點離墻的水平距離的范圍為：

；

（2）

,

因為，所以有，代入上式化簡得：

，

因為，所以有（當且僅當時取等號，即時，取等號），因此有，因此當點離墻的水平距離為1m時，視角（）最大.