Question

設{a_n}為等比數列，a₁=1，a₂=3．
（1）求最小的自然數n，使a_n≥2007；
（2）求和：T2n=

1

a1

-

2

a2

+

3

a3

-…-

2n

a2n

．

Answer 1

分析：（1）根據a₁和a₂求得數列的公比，進而可求得數列的通項公式．根據a_n≥2007求得n的值．
（2）把（1）中求得的a_n代入T_2n中，利用錯位相減法求得數列的和．

解答：解：（1）由已知條件得an=1•(

a2

a1

)n-1=3n-1，
因為3⁶＜2007＜3⁷，所以，使a_n≥2007成立的最小自然數n=8．
（2）因為T2n=

1

1

-

2

3

+

3

32

-

4

33

+…-

2n

32n-1

，①

1

3

T2n=

1

3

-

2

32

+

3

33

-

4

34

+…+

2n-1

32n-1

-

2n

32n

②，
①+②得：

4

3

T2n=1-

1

3

+

1

32

-

1

33

+…-

1

32n-1

-

2n

32n

=

1- 1 32n

1+ 1 3

-

2n

32n

=

3•32n-3-8n

4•32n

．所以T2n=

32n+2-9-24n

16•32n

．

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式和用錯位相加法求和的問題．應熟練掌握諸如公式法，疊加法，錯位相加法，裂項法等數列求和的常用方法．