Question

設{ a_n}為等比數列，{b_n}為等差數列，且b₁=0，c_n=a_n+b_n，若{ c_n}是1，1，2，…，求數列{ c_n}的前10項和．

Answer 1

分析：依題意：c₁=a₁-b₁=1，由b₁=0，知a₁=1，設b_n=（n-1）d，a_n=q^n-1，由c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃，知1=d+q，2=2d+q²，解得q=2，d=-1．所以a _n=2 ^n-1（n∈N^*），b_n=1-n （n∈N^*），由此能求出數列{ c_n}的前10項和．

解答：解：依題意：c₁=a₁+b₁=1，
∵b₁=0，
∴a₁=1，
設 b_n=b₁+（n-1）d=（n-1）d（n∈N^*），
a_n=a₁•q^n-1=q^n-1，（n∈N^*）
∵c₂=a₂+b₂，
c₃=a₃+b₃，
∴1=d+q，
2=2d+q²，
解得：q=0，d=1，或q=2，d=-1
∵q≠0，
∴q=2，d=-1．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*），
b_n=1-n （n∈N^*），
∴c₁+c₂+…+c₁₀=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀）
=

1-(1-210)

1-2

+

10•(0+1-10)

2

=2¹⁰-1-10
=1024-46
=978
∴數列{ c_n}的前10項和為978．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．