Question

已知直線l的參數方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t為參數），圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）求圓心C的直角坐標；
（Ⅱ）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用三角函數的和角公式展開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的直角坐標方程，從而得到圓心C的直角坐標．
（II）欲求切線長的最小值，轉化為求直線l上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線l上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關系求出切線長的最小值即可．

解答：解：（I）∵ρ=

2

cosθ-

2

sinθ，∴ρ2=

2

ρcosθ-

2

ρsinθ，
∴圓C的直角坐標方程為x2+y2-

2

x+

2

y=0，
即(x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1，∴圓心直角坐標為(

2

2

，-

2

2

)．（5分）
（II）∵直線l的普通方程為x-y+4

2

=0，
圓心C到直線l距離是

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5，
∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是

52-12

=2

6

（10分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．