Question

【題目】已知數列{an}是各項均為正整數的等差數列，公差d∈N* ， 且{an}中任意兩項之和也是該數列中的一項．
（1）若a1=4，則d的取值集合為；
（2）若a1=2m（m∈N*），則d的所有可能取值的和為

Answer 1

【答案】
（1）{1，2，4}
（2）2m+1﹣1
【解析】解：由題意可得，ap+aq=ak ， 其中p、q、k∈N* ，
由等差數列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），
整理得d= ，（1）若a1=4，則d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合為 {1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），則d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，…，2m ，
∴d的所有可能取值的和為1+2+4+…+2m= =2m+1﹣1，
所以答案是（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的前n項和公式和等差數列的性質的相關知識點，需要掌握前項和公式：；在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列才能正確解答此題．