Question

設(shè)a，β，γ是三個互不重合的平面，m，n是直線，給出下列命題①若a⊥β，β⊥γ，則a⊥γ；②若a∥β，m?β，m∥a；③若m，n在γ內(nèi)的射影互相垂直，則m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β則m⊥n．其中正確命題的個數(shù)為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：在正方體中舉出反例，可以得到命題①和命題③是錯誤的；根據(jù)平面與平面平行和直線與平面平行的定義，得到②是正確的；根據(jù)直線與平面平行的判定和空間直線平行的傳遞性，通過舉出反例可得④是錯誤的．由此可得正確答案．

解答：解：對于命題①，若a⊥β，β⊥γ，
則a與γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，
比如：正方體的上、下底面分別是a與γ，右側(cè)面是β
則滿足a⊥β，β⊥γ，但a∥γ，
∴“a⊥γ”不成立，故①不正確；
對于命題②，∵a∥β，m?β
∴平面a與直線m沒有公共點
因此有“m∥a”成立，故②正確；
對于命題③，可以舉出如下反例：
在正方體中，設(shè)正對我們的面為γ，
在左側(cè)面中取一條直線m，上底面中取一條直線n，
則m、n都與平面γ斜交時，m、n在γ內(nèi)的射影必定互相垂直，
顯然“m⊥n”不一定成立，故③不正確；
對于命題④，因為a⊥β，所以它們是相交平面，設(shè)a∩β=l
當(dāng)m∥a，n∥β時，可得直線l與m、n都平行，
所以m∥n，“m⊥n”不成立，故④不正確．
因此正確命題只有1個．
故選B

點評：本題借助于命題真假的判斷為載體，著重考查了平面與平面垂直的定義與性質(zhì)、直線與平面平行的判定定理和直線在平面中的射影等知識點，屬于基礎(chǔ)題．