Question

據行業協會預測：某公司以每噸10萬元的價格銷售某種化工產品，可售出該產品1000噸，若將該產品每噸的價格上漲x%，則銷售量將減少mx%，且該化工產品每噸的價格上漲幅度不超過80%，其中m為正常數．
（1）當m=時，該產品每噸的價格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？
（2）如果漲價能使銷售總金額比原銷售總金額多，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求當m=時，該產品每噸的價格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大，我們要根據已知條件先構造出函數的解析式，然后根據二次函數求最值的方法，求出銷售的總金額的最大值．
（2）由（1）中的解析式，我們易得=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立，然后轉化為一個恒成立問題，即可求出m的取值范圍．
解答：解：（1）設產品每噸價格上漲x%時，銷售總金額為y元．
則y=10（1+x%）′1000（1-mx%）
=-mx²+100（1-m）x+10000
當m=時，y=-（x-50）²+11250，
故當x=50時，y_max=11250（元）．
（2）y=-mx²+100（1-m）x+10000x∈（0，80]
y=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立
除去x得，-mx+100（1-m）＞0在x∈（0，80]恒成立
m為正常數，＞x，
而x∈（0，80]，
故＞80，
∴m∈．
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．