Question

在透明塑料制成的正方體容器中灌進體積的水，密封后可以任意擺放，那么容器內水面形狀可能是：①三角形；②梯形；③長方形；④五邊形．
其中正確的結果是 （    ）

A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

D

試題分析：問題等價于用一個平面去截正方體，所截得的較小的幾何體的體積為正方體體積的，假設正方體容器，假設正方體的棱長為，則正方體的體積，
（1）當截面過、、三點時，平面截正方體形成的較小的幾何體為三棱錐，，
，此時水面形狀即截面圖形形狀為三角形；

（2）如下圖所示，用不與棱平行的平面截正方體分別交、、、于、、、，由于平面平面，平面平面，平面平面，由平面與平面平行的性質定理知，且，則截面圖形為梯形，則幾何體為臺體，只需與的面積滿足一定的條件，能保證平面截正方體所形成的較小體積的幾何體的體積為.

（3）如下圖所示，用平行于棱去截正方體分別交、、、于、、、，所形成的較小的幾何體為三棱柱，當，則三棱柱的體積
，此時截面圖形為矩形.

（4）如下圖所示，在水面剛過、、的時候，再將正方體容器再傾斜一點，這時水面（即截面）分別交棱、、、、于點、、、、五點，將這五點連接起來便成為五邊形，由平面與平面平行的性質定理知，，此時截面截正方體所形成的體積較小的幾何體為多面體，它的體積為.