Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 線段OF1 ， OF2的中點分別為B1 ， B2 ， 且△AB1B2是面積為4的直角三角形．過B1作l交橢圓于P、Q兩點，使PB2垂直QB2 ， 求直線l的方程 ．

Answer 1

【答案】x+2y+2=0和x﹣2y+2=0
【解析】解：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準方程為 （a＞b＞0），右焦點為F2（c，0）．
∵△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2為直角，
因此|OA|=|OB2|，得b= ．
結(jié)合c2=a2﹣b2 ， 得4b2=a2﹣b2 ， 故a2=5b2 ， c2=4b2 ， ∴離心率e= = ．
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2 ， 故 = |B1B2||OA|=|OB2||OA|= b=b2 ．
由題設(shè)條件△AB1B2的面積為4，得b2=4，從而a2=5b2=20．
因此所求橢圓的標(biāo)準方程為： ．
則B1（﹣2，0），B2（2，0）．
由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為：x=my﹣2．
代入橢圓方程得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0．
設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ．
又 ，
∴由PB2⊥QB2 ， 得 ，
即16m2﹣64=0，解得m=±2．
∴滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x+2y+2=0和x﹣2y+2=0，
故答案為：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．

由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準方程，結(jié)合已知列式求出橢圓方程，再設(shè)出直線l的方程x=my﹣2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積為0列式求得m值，則直線方程可求．