Question

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．

(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；

(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

 

Answer 1

(1)(0,5)．(2)當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．

【解析】(1)因為蓄水池側面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元．所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．

又根據題意得200πrh＋160πr2＝12 000π，

所以h＝(300－4r2)，從而V′(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．

因r>0，又由h>0可得r<5，故函數V(r)的定義域為(0,5)．

(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定義域內，舍去)．

當r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數；

當r∈(5,5)時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數．

由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8.

即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．