Question

【題目】已知各項是正數的數列的前項和為．若，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用數列的通項與前n項和的關系，當時，由，得到，兩式相減化簡得到，再利用等差數列的定義求解.

（2）由（1）知，，，將對任意恒成立，轉化為對一切恒成立， 記，利用作差法研究其單調性，求其最大值即可.

（1）當時，由， ①

則 ②

②-①得，

又各項是正數，得，

當時，由①知，即，

解得或（舍），

所以，

即數列為等差數列，且首項，

所以數列的通項公式為．

（2）由（1）知，，所以，

由題意可得對一切恒成立，

記，則，，

所以，，

當時，，當時，，且，，，

所以當時，取得最大值，

所以實數的取值范圍為．