Question

【題目】如圖，圓為圓上任意一點，過作圓的切線，分別交直線和于兩點，連接，相交于點，若點的軌跡為曲線.

（1）設直線的斜率分別為，求的值，并求曲線的方程；

（2）記直線與曲線有兩個不同的交點，與直線交于點，與直線交于點，求的面積與的面積的比值的最大值及取得最大值時的值.

（注：在點處的切線方程為）

Answer 1

【答案】(1)（）;(2)取得最大值，此時.

【解析】

（1）易知過點的切線方程為，其中，

則，從而得到，進而得到曲線的方程；

（2）聯立消去，得，利用根與系數的關系得到，進而求出，從而有，利用換元法轉化為二次函數的最值問題.

（1）易知過點的切線方程為，其中，

則，

∴

設，則（）

故曲線的方程為（）

（2）聯立消去，得，

設，則，

由得且

∴，

易得，

∴，

∴，

令且，

則，

當，即時，取得最大值，此時.