Question

直線l過橢圓的左焦點F，且與橢圓相交于P、Q兩點，M為PQ的中點，O為原點．若△FMO是以OF為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：由橢圓的方程求出橢圓的左焦點，由題意可知直線l的斜率存在且不等于0，寫出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系得到PQ中點M的橫坐標，再由△FMO是以OF為底邊的等腰三角形得到M的橫坐標，兩數相等求出k的值，則直線l的方程可求．
解答：解：由，得a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=2-1=1．
則c=1，則左焦點F（-1，0）．
由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，
則直線l的方程為y=kx+k．
設l與橢圓相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
聯立，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
所以．
則PQ的中點M的橫坐標為．
因為△FMO是以OF為底邊的等腰三角形，
所以．解得：．
所以直線l的方程為．
故答案為．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了設而不求的方法，解答此題的關鍵是由△FMO是以OF為底邊的等腰三角形得到M點的橫坐標，此題是中檔題．