Question

已知數列{a_n}是公差為2的等差數列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由于數列{a_n}是公差為2的等差數列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數列，設該數列的首項為a₁，利用條件建立方程即可求解；
（II）由（I）可知a_n的式子，再有bn=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，求出b_n的通項公式為：bn=

1

4

•

1

n(n+1)

，此通項公式為分式且分母屬于等差數列的相鄰兩項，應選擇裂項相消的求和方法．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的首項為a₁，因為a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數列，所以有
         （a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13），
        解得：a₁=3，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）證明：由（I）知：a_n=2n+1，所以
      bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
所以Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

1

4

-

1

4(n+1)

＜

1

4

．

點評：此題考查了利用條件建立方程并求出方程，等差數列與等比數列的定義，裂項相消的求和方法．