Question

已知某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：

商店名稱	A	B	C	D	E
銷售額（x）/千萬元	3	5	6	7	9
利潤額（y）/千萬元	2	3	3	4	5

?

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

，（ I）畫出散點圖；（ II）根據如下的參考公式與參考數據，求利潤額y與銷售額x之間的線性回歸方程；（ III）若該公司還有一個零售店某月銷售額為10千萬元，試估計它的利潤額是多少？
（參考公式：其中：

n

i=1

xiyi=112，

n

i=1

x

2 i

=200）

Answer 1

分析：（I）根據所給的表格，得到五對數據，在坐標系中畫出對應的點，得到散點圖．
（II）根據所給的數據，做出橫標和縱標的平均數，利用最小二乘法做出做出線性回歸方程的系數，代入樣本中心點求出a的值，得到線性回歸方程．
（III）根據所給的自變量x的值，代入線性回歸方程，求出對應的y的值，注意這是一個估計值或者說是預報值，不是準確數值．

解答：解：（I）根據所給的五對數據（3，2）（5，3）（6，3）（7，4）（9，5）在坐標系中畫出散點圖（3分）

（II）由已知數據計算得：
n=5，

.

x

=

30

5

=6，

.

y

=

17

5

=3.4
∴

b= 112-5×6×3.4 200-5×6×6 =0.5，

把樣本中心點（6，3.4）代入y=0.5x+a
得到a=3.4-0.5×6=0.4     （3分）
則線性回歸方程為

?

y

=0.5x+0.4（2分） 
（III）將x=10代入線性回歸方程中得到

?

y

=0.5×10+0.4=5.4（千萬元）
即當零售店某月銷售額為10千萬元，估計它的利潤額是5.4千萬元（2分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法和線性回歸分析的應用，本題解題的關鍵是利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程，再代入中心點求出字母a的值，注意題目最后得到的數值是一個預報值，注意敘述的方式，本題是一個中檔題目．