Question

數列{a_n}滿足a1=

1

6

，前n項和Sn=

n(n+1)

2

an
（1）寫出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）根據Sn=

n(n+1)

2

an，利用遞推公式，分別令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根據（1）求出的數列的前四項，從而總結出規律猜出a_n，然后利用數學歸納法進行證明即得．

解答：解：（1）令n=2，∵a1=

1

6

，∴S2=

2×(2+1)

2

a2，即a₁+a₂=3a₂．∴a2=

1

12

．
令n=3，得S3=

3×(3+1)

2

a3，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴a3=

1

20

．
令n=4，得S4=

4×(4+1)

2

a4，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴a4=

1

30

．
（2）猜想an=

1

(n+1)(n+2)

，下面用數學歸納法給出證明．
①當n=1時，a1=

1

6

=

1

(1+1)(1+2)

結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

，
則當n=k+1時，Sk=

k(k+1)

2

ak=

k(k+1)

2

•

1

(k+1)(k+2)

=

k

2(k+2)

，Sk+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1，
即Sk+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴

k

2(k+2)

+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴ak+1=

k 2(k+2)

(k+1)(k+2) 2 -1

=

k

k(k+3)(k+2)

=

1

(k+2)(k+3)

．
∴當n=k+1時結論成立．
由①②可知，對一切n∈N₊都有an=

1

(n+1)(n+2)

成立．

點評：此題主要考查數列遞推式、數學歸納法．數學歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證．