Question

【題目】已知拋物線：，過其焦點作斜率為1的直線交拋物線于，兩點，且線段的中點的縱坐標為4.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若不過原點且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點，且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；

（2）設直線：，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，，再由得，即可得到結論．

（1）設，兩點的坐標分別為，，

則，，兩式相減得.

即，

又線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，∴，∴.

即拋物線的標準方程為.

（2）設直線：與拋物線：交于點，，

則，

，∴，

∴，，

由得，即，，

直線為，∴過定點.