Question

（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點為F．若C的右準線l的方程為x＝4，離心率e＝．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設點P為直線l上一動點，且在x軸上方．圓M經過O、F、P三點，求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．

Answer 1

解：（1）由題意，設橢圓C的標準方程為 則
  得：，，
所以所求橢圓C的方程為
（2）方法一、由（1）知，由題意可設 
線段的垂直平分線方程為 ①
因為線段的中心為，斜率為.
所以線段的垂直平分線方程為
即：　　②
聯立①②，解得
即：圓心     
因為，所以，當且僅當 即：時，
圓心到軸的距離最小，此時圓心為，半徑為，
故所求圓的方程為.
方法二：由（1）知F（2，0）由題可設的方程為
將點F、P的坐標代入得解得：
所以圓心的坐標為，即：
因為，所以，當且僅當 即：時，
所以圓心到軸的距離最小，此時
故所求圓的方程為：

解析