Question

【題目】在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：

（1）平面平面；

（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）

【解析】

（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上取中點(diǎn)O，連接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可證得，結(jié)合，可證明平面.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)F在線段上，設(shè)，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的一個(gè)法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再結(jié)合為平面的一個(gè)法向量，用向量法即可求出與的夾角，結(jié)合圖形，寫(xiě)出二面角的大小.

證明：（1）在中，

為正三角形，且

在中，

為等腰直角三角形，且

取的中點(diǎn)，連接

，

，

，平面

平面

平面

..平面平面

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，

，

，

設(shè).則

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則

，

令，解得

與平面所成角的正弦值為，

整理得

解得或(含去)

又為平面的一個(gè)法向量

，

二面角的大小為.