Question

【題目】如圖，某運動員從A市出發沿海岸一條筆直公路以每小時15km的速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘劃艇與運動員同時出發，要追上這位運動員.

（1）劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？

（2）求劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角.

（3）若劃艇每小時最快行駛11.25km，劃艇全速行駛，應沿何種路線行駛才能盡快追上這名運動員，最快需多長時間？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）劃艇應垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運動員；.

【解析】

（1）設速度為，時間為，由余弦定理可得關于時間的函數，根據二次函數的性質得出的最小值；

（2）利用余弦定理計算即可得出答案．

（3）假設劃艇沿著垂直于海岸的方向，即方向行駛需要，而運動員剛好到點，即可得出結果.

（1）設劃艇以的速度從處出發，沿方向，后與運動員在處相遇，

過作的垂線，則，，

在中，，，，

則，．

由余弦定理，得，

得．

整理得：．

當，即時，取得最小值81，即，

所以劃艇至少以9的速度行駛才能把追上這位運動員．

（2）當時，

在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，

所以劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角為．

（3）劃艇每小時最快行駛11.25km全速行駛，

假設劃艇沿著垂直于海岸的方向，即方向行駛，而，

此時到海岸距離最短，需要的時間最少，

所以需要：，而時運動員向東跑了：，

而，即時，劃艇和運動員相遇在點.

所以劃艇應垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運動員，最快需要.