Question

命題p：已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的

內角平分線

的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓中的結論，利用角平分線的性質與橢圓的定義，可類比雙曲線中的相應結論．

解答：解：點F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線PM的對稱點Q在F₁P的延長線上
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M
∴|F₁Q|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
不妨設點P在雙曲線右支上，點F₁關于∠F₁PF₂的內角平分線PM的對稱點Q在PF₂的延長線上
當過F₂作∠F₁PF₂的內角平分線的垂線，垂足為M時，|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
故答案為：內角平分線

點評：本題考查類比推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．