Question

（1）已知平面上兩定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），且動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足=0，求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實(shí)數(shù)k的值；
（3）如圖1，l是經(jīng)過橢圓長軸頂點(diǎn)A且與長軸垂直的直線，E、F是兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，證明：．類比此結(jié)論到雙曲線，l是經(jīng)過焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與F重合（如圖2）．若∠APB=α，試求角α的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M為（x，y），利用坐標(biāo)表示向量，代入題目中的條件得x²+y²=4，即得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由題意圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，根據(jù)其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或
（3）由題得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得；類比橢圓的證明方法得到雙曲線
的類似的性質(zhì) ．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），
由得x²+y²=4，
此即點(diǎn)M的軌跡方程．…（3分）
（2）將x²+y²=4向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4…（5分）
依題意有，得k=0或…（8分）
（3）（ⅰ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在A的上方，并設(shè)P（a，t）（t＞0），
則…（10分）
所以…（12分）
所以．顯然α為銳角，即：…（14分）
（ⅱ）不妨設(shè)點(diǎn)P在F的上方，并設(shè)P（c，t）（t＞0），
則，
所以
由于tanα＞0且，α為銳角，故．…（18分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要考查軌跡方程的求解，考查圖象變換，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是把向量條件坐標(biāo)化，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)．