Question

已知平面上兩個定點M

(0，-2)

、N

(0，2)

，P為一個動點，且滿足

MP

•

MN

=

|

PN

|•|

MN

|．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若A、B是軌跡C上的兩個不同動點

AN

=λ

NB

．分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設其交點為Q，證明

NQ

•

AB

為定值．

Answer 1

分析：（1）先設P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關系，結合向量的坐標運算即可得到．
（2）先設出A，B兩點的坐標，利用向量關系及向量運算法則，用A，B的坐標表示出

NQ

•

AB

，最后看其是不是定值即可．

解答：解：（I）設P（x，y）．
由已知

MP

=(x，y+2)，

MN

=(0，4)，

PN

=(-x，2-y)，

MP

•

MN

=4y+8.
|

PN

|•|

MN

|=4

x2+(y-2)2

（3分）
∵

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
∴4y+8=4

x2+(y-2)2

整理，得x²=8y
即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由

AN

=λ

NB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ(y2-2)

將（1）式兩邊平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λ²y₂（3分）
解（2）、（3）式得y1=2λ，y2=

2

λ

，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
拋物線方程為y=

1

8

x2，求導得y′=

1

4

x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是
y=

1

4

x1(x-x1)+y1，y=

1

4

x2(x-x2)+y2，
即y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

，y=

1

4

x2x-

1

8

x

2 2

解出兩條切線的交點Q的坐標為(

x1+x2

2

，

x1x2

8

)=(

x1+x2

2

，-2)（11分）
所以

NQ

•

AB

=(

x1+x2

2

，-4)•(x2-x1，y1-y2)
=

1

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)-4(

1

8

x

2 2

-

1

8

x

2 1

)=0
所以

NQ

•

AB

為定值，其值為0．（13分）

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．