Question

在棱長為的正方體中，點(diǎn)是正方體棱上一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），，
①若，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________；
②若滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則的取值范圍是________．

Answer 1

     

解析試題分析：①時(shí)，,結(jié)合橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn)軌跡為一個(gè)以2為長軸長，正方體中心為中心，為焦點(diǎn)的橢圓體.
⑴當(dāng)橢圓體與有交點(diǎn)時(shí)，則由對(duì)稱性知橢圓體必與，有交點(diǎn).
設(shè)，則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/7/1ti1z4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以由于，所以此時(shí)有六個(gè)交點(diǎn).
⑵當(dāng)橢圓體與有交點(diǎn)時(shí)，則由對(duì)稱性知橢圓體必與，有交點(diǎn).
設(shè)，則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/8/1syal2.png" style="vertical-align:middle;" />得所以由于，所以此時(shí)無有六個(gè)交點(diǎn).
說明：當(dāng)或時(shí)，橢圓體與正方體交于除外的六個(gè)頂點(diǎn).
②若則動(dòng)點(diǎn)不存在.若則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.因此即動(dòng)點(diǎn)軌跡為一個(gè)以2為長軸長，正方體中心為中心，為焦點(diǎn)的橢圓體.由①分析可知，要使得滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，須使得.
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).