Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在定義域上的最大值為，求實數的值；

（2）設函數，當時，對任意的恒成立，求滿足條件的實數的最小整數值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先對函數求導，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在定義域上的單調性，進而可求最大值，由此可求出實數的值；

（2）由已知整理可得，對任意的恒成立，結合，，可知，故只需對任意的恒成立，構造函數，利用導數求出函數的最大值的取值范圍，由此可求得滿足條件的實數的最小整數值．

（1）由題意，函數的定義域為，，

當時，，函數在區間上單調遞增，

此時，函數在定義域上無最大值；

當時，令，得，

由，得，由，得，

此時，函數的單調遞增區間為，單調減區間為．

所以函數，

即為所求；

（2）由，因為對任意的恒成立，

即，當時，對任意的恒成立，

，，，

只需對任意的恒成立即可．

構造函數，，

，，且單調遞增，

，，一定存在唯一的，使得，

即，，

且當時，，即；當時，，即.

所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

，

因此，的最小整數值為.