Question

設函數f（x）=，其中a為實數．
（Ⅰ）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當f（x）的定義域為R時，求f（x）的單減區間．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，
∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
即當0＜a＜4時f（x）的定義域為R．

（Ⅱ）由題意可知：，令f'（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f'（x）=0，得x=0或x=2-a，
又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2時，由f'（x）＜0得0＜x＜2-a；
當a=2時，f'（x）≥0；當2＜a＜4時，由f'（x）＜0得2-a＜x＜0，
即當0＜a＜2時，f（x）的單調減區間為（0，2-a）；
當2＜a＜4時，f（x）的單調減區間為（2-a，0）．
分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，說明分母不為零，利用判別式直接求a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）的定義域為R時，求導數，導數為0確定x的值，根據a的范圍，確定導數的符合，求f（x）的單減區間．
點評：本題考查函數的定義域及其求法，利用導數研究函數的單調性，考查轉化思想，分類討論思想，是中檔題．