Question

【題目】如圖，在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.

（1）求異面直線AC1與D1E所成角的余弦值；

（2）求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，分別求得向量與向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）先求得平面BED1F的一個法向量，向量的坐標，再利用線面角向量方法求解.

（1） 因為DA，DC，DD1兩兩垂直，所以分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

因為棱長為 3， A1E＝CF＝1，

則D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，C1(0，3，3)，E(3，0，2)，F(0，3，1)．

所以＝(－3，3，3)，＝(3，0，－1)，

所以cos〈〉＝

＝

＝－，

所以異面直線 AC1與 D1E 所成角的余弦值是.

（2）設平面 BED1F的法向量是＝(x,y,z)，

又因為＝(0，－3，2)，＝(－3，0，1)，⊥，⊥，

所以·＝0， ·＝0，

即，令z＝3，

得x＝1，y＝2，所以＝(1，2，3)．

又＝(－3，3，3)，

所以cos〈，〉＝

＝＝，

所以直線 AC1與平面 BED1F 所成角的正弦值為.