Question

【題目】在直角坐標系中，過點的直線的參數方程為:（為參數）， 以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，直線與曲線分別交于兩點.

（1）寫出曲線和的普通方程；

（2）若成等比數列，求值.

Answer 1

【答案】 ，；（2）1.

【解析】

（1）利用互化公式即可將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；利用代入消元法消去參數，即可得到直線的普通方程；

（2）把直線的參數方程和曲線的直角坐標方程聯立，根據韋達定理和參數的幾何意義分別表示出 ，利用等比中項即可求出的值.

解：（1）∵，∴，

∴曲線的直角坐標方程為：，

由 （為參數），消去參數，

得直線的普通方程為：.

（2）將直線的參數方程代入中，

得，

設點，對應的參數分別為，，則，，

則，，

成等比數列，則，

而，，

所以，即，

，

，解得：或，

又，.