Question

已知函數y=log₄（2x+3-x²），
（1）求函數的定義域；
（2）求y的最大值，并求取得最大值時的x值．

Answer 1

解：（1）要使原函數有意義，則真數2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
所以函數的定義域為{x|-1＜x＜3}；
（2）將原函數分解為y=log₄u，u=2x+3-x²兩個函數．
因為u=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以y=log₄（2x+3-x²）≤log₄4=1．
所以當x=1時，u取得最大值4，
又y=log₄u為單調增函數，所以y的最大值為y=log₄4=1，此時x=1．
分析：（1）由對數式的真數大于0，求解一元二次不等式可得原函數的定義域；
（2）原函數式符合函數，令真數為u，求出u的值域，因為外層函數是增函數，所以u最大時原函數值最大，u取最大時的x的值就是y最大時的x的值．
點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了二次函數和簡單符合函數的性質，求解含有對數式的復合函數，一定要注意函數的定義域，此題是基礎題．