Question

已知數列｛a_n｝的前n項和S_n=2a_n+1，求證：｛a_n｝是等比數列，并求出其通項公式.

Answer 1

思路解析：要想證數列是等比數列，只需看a_n+1與a_n之比是否為同一常

數.由題設條件還要利用a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1.

證明：∵S_n=2a_n+1，

∴S_n+1=2a_n+1+1.

則a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1+1）-（2a_n+1）=2a_n+1-2a_n，

可得a_n+1=2a_n.                                                                 ①

又∵S₁=a₁=2a₁+1，

∴a₁=-1≠0.

并且由①式可知a_n≠0.

因此，由=2，可知｛a_n｝是等比數列，a₁=-1，q=2.

∴a_n=a₁q^n-1=-2^n-1.

深化升華

判斷或證明一個數列是等比數列的常用方法是根據等比數列的概念，證明對任意自然數n，都等于同一個常數.