Question

已知拋物線C：，點A、B在拋物線C上.

（1）若直線AB過點M（2p，0），且=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（2）設直線OA、OB的傾斜角分別為，且，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）過定點

試題分析：（1）當直線斜率不存在時方程為，與的交點分別為M，N，弦長。此時中，，邊的中線長為,所以是直角三角形，過三點的圓的圓心為邊的中點，半徑為，則可得此圓的標準方程。（2）設點，為了省去對斜率存在與否的討論可設直線AB的方程為：。將直線與拋物線方程聯立，消去整理為關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。根據用正切的兩角和公式展開可得關于兩點坐標間的關系。根據兩關系式可得與間的關系，故此可判斷直線是否過定點。
試題解析：（1）直線與拋物線的兩個交點坐標分別是：M，N，弦長，故三角形ABO是，所以過A，B，O三點的圓方程是：
（2）解：設點，直線AB的方程為：，它與拋物線相交，由方程組消去x可得，故，，
這樣，tan
即1=，所以，所以直線AB的方程可以寫成為：，即，所以直線AB過定點.