Question

（13分）
在直角坐標系中，點M到點的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線與軌跡C交于不同的兩點P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當時，求k與b的關系，并證明直線過定點.

Answer 1

（I）（II）且直線經過定點點

（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為                                     …………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得 
…………5分
因為直線與曲線C交于不同的兩點P和Q，
所以①
設，則
 ②                                        …………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得                   …………10分
所以
即經檢驗，都符合條件①
當b=2k時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點（-2，0）點.
即直線經過點A，與題意不符.
當時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點點，且不過點A.
綜上，k與b的關系是：
且直線經過定點點                                                                   …………13分