Question

【題目】如圖（1），等腰梯形，，，，、分別是的兩個三等分點.若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點和點重合，記為點，如圖（2）.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，先證明面，再由面面垂直的判定定理，即可得出結論成立；

（2）過作于，過作BE的平行線交AB于，得到面，又，EF，所在直線兩兩垂直，以它們為軸建立空間直角坐標系，用空間向量的方法，分別求出平面和平面的法向量，計算向量夾角余弦值，即可求出結果.

（1）因為，是的兩個三等分點，易知，是正方形，故，

又，且，所以面，

又面，所以面.

（2）過作于，過作BE的平行線交AB于，則面，

又，EF，所在直線兩兩垂直，以它們為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，，，

設平面的法向量為，

則，∴，，

設平面的法向量為，

則，∴，，

因此，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.