Question

【題目】已知，是函數的兩個零點，其中常數，，設．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對任意的．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意得：，．因為，所以．.對抽象的求和符號具體化處理,是解答本題的關鍵.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用數學歸納法證明有關自然數的命題. （1）當時，由（Ⅰ）問知是整數，結論成立．（2）假設當（）時結論成立，即都是整數，由（Ⅱ）問知．即時，結論也成立．

解：（Ⅰ）由，．

因為，所以．

． 3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以． 8分

（Ⅲ）用數學歸納法證明．

（1）當時，由（Ⅰ）問知是整數，結論成立．

（2）假設當（）時結論成立，即都是整數．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整數，且，，所以也是整數．

即時，結論也成立．

由（1）（2）可知，對于一切，的值都是整數． 13分