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求證：y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是互不相等的實數），三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．

證明：假設這三條拋物線全部與x軸只有一個交點或沒有交點，
則有 $\text{[math]}$ 三式相加，得a²+b²+c²-ab-ac-bc≤0?（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．
∴a=b=c與a，b，c是互不相等的實數矛盾，
∴這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．
分析：對于“至少”型的問題，可利用反證法，導出矛盾即可．
點評：本題考查二次函數的性質，突出考查反證法的應用，利用反證法時得到a²+b²+c²-ab-ac-bc≤0是關鍵，也是難點，考查轉化思想與推理證明的能力，屬于中檔題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數的圖象與x軸交于相異的兩個點．
（2）設函數圖象截x軸所得線段的長為l，求證：

＜l＜2

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三個函數y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

(x+

1-t

)(x＞0)，它們各自的最小值恰好是函數
f（x）=x³+ax²+bx+c的三個零點（其中t是常數，且0＜t＜1）
（1）求證：a²=2b+2
（2）設f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點分別為（x₁，m），（x₂，n），若|x1-x2|=

，求f（x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象上有兩點A₁（m₁，y₁），A₂（m₂，y₂），滿足a²+（y₁+y₂）a+y₁•y₂=0．
求證：
（1）存在i∈{1，2}，使y_i=-a；
（2）拋物線y=ax²+bx+c與x軸總有兩個不同的交點；
（3）若使該圖象與x軸交點為（x₁，0）（x₂，0），（x₁＜x₂），則存在i∈{1，2}，使x₁＜m_i＜x₂．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•梅州一模）數列{b_n}的首項b₁=1，前n項和為Sn，對任意的n∈N^*，點（n，S_n），（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，數列{a_n}滿足

=2ⁿ．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=（1-

n+1

）-

，R_n=

+…+

，求對?n∈N^*，m＞R_n都成立的最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a是正整數，拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，4），B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求證：此拋物線的最低點的縱坐標不超過-

．

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求證：y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的實數），三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．

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求證：y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是互不相等的實數），三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．