Question

（2012•梅州一模）數列{b_n}的首項b₁=1，前n項和為Sn，對任意的n∈N^*，點（n，S_n），（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，數列{a_n}滿足

bn

an

=2ⁿ．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

，R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

，求對?n∈N^*，m＞R_n都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由點（1，1），（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，可求a，b，進而可求S_n，利用遞推公式b_n=S_n-S_n-1可求b_n，結合

bn

an

=2n，可求a_n
（2）由c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

=

2n

n+1

可得

1

Cn

=

n+1

2n

，可考慮利用錯位相減法求解數列的和R_n，然后由R_n的范圍可求m的范圍

解答：（1）證明：∵b₁=1，
∴S₁=1
∴點（1，1），（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，
∴

a+b=1 16a+4b=10

，解得：a=

1

2

，b=

1

2

         …（1分）
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n                                     …（2分）
則n≥2時，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n
又b₁=1也適合，所以b_n=n，
∴數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列                       …（6分）
又

bn

an

=2n，
∴an=

n

2n

                                    …（7分）
（2）∵c_n=（1-

1

n+1

）-

1

an

=

2n

n+1

∴

1

Cn

=

n+1

2n

…（8分）
∴R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

①
∴

1

2

Rn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

②
兩式相減，得：

1

2

Rn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

，
∴Rn=2-

n+3

2n

…（12分）
∵

3+n

2n

＞0
∴R_n＜3
∴m=3                  …（14分）

點評：本題主要考查了等差數列的判斷，數列的遞推公式在數列的通項公式的求解中的應用，錯位相減求 數列的和方法的 應用．