Question

（本小題滿分16分）如圖，平面直角坐標系中，和為等腰直角三角形，,設和的外接圓圓心分別為.

（Ⅰ）若圓M與直線相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若直線截圓N所得弦長為4，求圓N的標準方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的圓N，使得圓N上有且只有三個點到直線的距離為，若存在，求此時圓N的標準方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）圓心，所以圓的方程為，
直線的方程為.
圓與直線相切，圓心到直線的距離，
化簡得：.
直線的方程為.  ·······························5分
（2）直線方程為：，圓心，
圓心到直線的距離為.
直線截圓的弦長為4， （負值舍去）
所以圓的標準方程為.····················10分
（3）存在。
由（2）知，圓心到直線的距離為（定值），且始終成立，
當且僅當圓半徑即時，
圓上有且只有三個點到直線的距離為.
此時，圓的標準方程為························16分

略