Question

【題目】已知橢圓左右焦點為，左頂點為A（-2.0），上頂點為B,且∠=.

（1）求橢圓C的方程；

（2）探究軸上是否存在一定點P，過點P的任意直線與橢圓交于M、N不同的兩點，M、N不與點A重合，使得 為定值，若存在，求出點P；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點使得為定值

【解析】

（1）由題意知a，結合∠=可得c，．再利用a2＝b2+c2，得b2即可．

（2）直線方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，利用數量積為定值，得到k與m的關系，即可得出結論．

（1）由題意知：又∠=，所以為正三角形，

,,

橢圓C的方程為；

（2）設直線MN的為,M,N,

,,

,

，消去y得,

,

由韋達定理,,

,

,

得,

為定值，則，即,

得

即存在點使得為定值.