Question

已知函數(a、b∈R)，
（Ⅰ）若f(x)在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a 和b的值；
（Ⅱ）若f(x)為奇函數：（1）是否存在實數b，使得f(x)在為增函數，為減函數，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當x≥0時，都有f(x)≤0恒成立，試求b的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f(x)在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否則f(x)值域為R），
∴
，
又，
由題意有， ∴a=2010；
（Ⅱ）若f(x)為奇函數，∵x∈R，∴f(0)=0，∴a=0，
∴，，
（1）若，使f(x)在（0，）上遞增，在（，π）上遞減，
則，∴b=0，
這時，
當時，，f(x)遞增； 　
當時，，f(x)遞減。
（2），
△=，
若△≤0，即，則對恒成立，這時f(x)在上遞減，
∴。
若b＜0，則當x≥0時，，，
不可能恒小于等于0；
若b=0，則不合題意，
若，則，，
所以，，使，

綜上所述，。