Question

【題目】已知橢圓C：過點，且離心率為

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若過原點的直線與橢圓C交于P、Q兩點，且在直線上存在點M，使得為等邊三角形，求直線的方程。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=

【解析】

（Ⅰ）列a,b,c的方程組求解即可求得方程；（Ⅱ）當的斜率k=0時符合題意；當的斜率k0時，設直線與橢圓聯立，求得P，Q坐標，進而求得設直線的中垂線方程：,求其與的交點M,由為等邊三角形,得到解方程求得k值即可

（Ⅰ）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為

（Ⅱ）由題，當的斜率k=0時，此時PQ=4 直線與y軸的交點（0，滿足題意；

當的斜率k0時，設直線與橢圓聯立得=8,,設P（）,則Q（）,,又PQ的垂直平分線方程為由，解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y=

綜上可知，直線的方程為y=0或y=