Question

如圖，橢圓以邊長為1的正方形ABCD的對角頂點(diǎn)A，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過各邊的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，寫出A、C、D、E的坐標(biāo)，利用橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，待定系數(shù)法求橢圓的方程．
解答：解：如圖所示：以點(diǎn)A，C所在直線為x軸，以線段AC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-，0）、C（，0），D（0，），
故CD的中點(diǎn) E（，），
∵E在橢圓上，由橢圓的定義，
得EA+EC=2a=+
=+=，
∴a=．
又 c=，∴b²=a²-c²=，∴橢圓的方程為：+=1．
點(diǎn)評：本題考查利用橢圓的定義，用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于中檔題．