Question

（本小題滿分12分）（文題滿分14分）

       如圖，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變。

   （Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；

   （Ⅱ）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，與OD所在直線交于E點，若為定值。

Answer 1

（本小題滿分12分）（文22題 滿分14分）

       解：（Ⅰ）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸， O為原點，建立平面直角坐標系，

       ∵動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．且點Q在曲線C上,

       ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

       ∴曲線C是為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓

       設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1．

       ∴曲線C的方程為+y²=1     5分

（Ⅱ）證法1：設點的坐標分別為，

       又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

       ∵，∴．

       ∴ ，．       7分

       將M點坐標代入到橢圓方程中得：，

       去分母整理，得．  10分

       同理，由可得：．

       ∴ ，是方程的兩個根，

       ∴ ．        12分

（Ⅱ）證法2：設點的坐標分別為，又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

       顯然直線  的斜率存在，設直線  的斜率為 ，則直線  的方程是 ．

       將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

       ．   8分

       ∴ ，．

       又 ∵，

       則．∴，

       同理，由，∴．      10分

       ∴．       12分